સમીકરણ $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^2}y}&{{x^2}z}\\{x{y^2}}&{{y^3} + 1}&{{y^2}z}\\{x{z^2}}&{y{z^2}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે જ્યાં $-1 < x < 1$,ધારો કે $A(x)$ એ શ્રેણિક $\frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ -x & 1 \end{bmatrix}$ છે. જો $z = \frac{x+y}{1+xy}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Q = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 4 \end{bmatrix}$ અમુક શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y$,અને $z$ માટે છે,જેના માટે $2 \times 2$ શ્રેણિક $R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના તમામ ઘટકો શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેથી $QR = RP$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $|Q-2I| = 0$
$(B)$ $|Q-6I| = 12$
$(C)$ $|Q-3I| = 15$
$(D)$ $yz = 2$

ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5}$ અને $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. જો $B = A + A^4$ હોય,તો $\det(B)$

ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $2$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે. તો સંભાવના $P(E)$ શું છે?

ધારો કે $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Y$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જે $XY = YX$ શરતનું પાલન કરે છે. તો $\det(Y)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત શું છે?